Стратегия страхования риска

Рейтинг брокеров бинарных опционов за 2020 год:
  • БИНАРИУМ
    БИНАРИУМ

    1 место! Самый лучший брокер бинарных опционов для СНГ!
    Бесплатное обучение трейдингу и демо-счет!
    Получите бонус за регистрацию, перейдя по ссылке:

Стратегии страшат» предпринимательских рисков

Чтобы правильно сориентироваться во влиянии рисковых факторов и предлагаемых рынком условиях их страхования, и сэкономить на взносах без ущерба для экономической безопасности бизнеса, нужно проанализировать различные виды страховой защиты. Виды страхования:
— Страхование активов (имущества). Основы такого страхования оговорены в обязательном порядке, но его возможности могут быть расширены за счет добровольного страхования материальных и нематериальных (интеллектуальной собственности) активов предприятия, например:
а) страхованием может быть охвачен весь комплекс активов, а не только производственные основные фонды;
б) страхование может ориентироваться на рыночную стоимость активов (по восстановительной, а не балансовой оценке) при наличии экспертизы;
в) страхование может быть осуществлено у нескольких страховщиков (для гарантии от их банкротства);
г) в процессе страхования может быть учтен инфляционный риск перспективного периода. Страхование кредитных рисков (или рисков расчетов). Объектом такого страхования является риск неплатежа (несвоевременного платежа) со стороны покупателей при предоставлении им кредита или при поставках без предоплаты. Кредитный риск может быть застрахован и покупателем с передачей страхового полиса продавцу. Страхование депозитных рисков. Оно производится при осуществлении как краткосрочных, так и долгосрочных финансовых вложений с использованием депозитных инструментов. Объектом этого страхования становится финансовый риск невозврата банком суммы основного вклада и процентов по депозитным вкладам (и сертификатам) в случае его банкротства. Страхование инвестиционных рисков. Объектом страхования являются риски несвоевременного завершения проектно-конструкторских работ (строительно-монтажных и других); невыхода на запланированную проектом производственную мощность и т. д. Этот вид страхования в России пока не распространен, в отличие от зарубежной практики. Страхование косвенных финансовых рисков охватывает такие разновидности, как страхование упущенной выгоды, расчетной прибыли, превышения бюджета капитальных или текущих затрат, страхование лизинговых платежей и другие. Страхование финансовых гарантий. К нему предприятие прибегает в процессе привлечения заемных финансовых средств (банковского, коммерческого и других видов кредита) по требованию кредиторов. Страхование финансовых гарантий обеспечивает выполнение всех финансовых обя-

зательств предприятия в полном соответствии с условиями договоров.
— Прочие виды страхования рисков. Их объектами являются иные виды рисков, не вошедшие в перечисленные выше традиционные виды страхования [8,467-468].
По используемым системам страхования выделяют: Страхование по действительной стоимости имущества используется в имущественном страховании и обеспечивает страховую защиту в полном объеме ущерба (в размере страховой суммы по договору, соответствующей страховой оценке). Страхование по системе пропорциональной ответственности обеспечивает лишь частичную страховую защиту по отдельным видам рисков. В этом случае страховое возмещение осуществляется пропорционально коэффициенту страхования, с учетом которого сумма страхового возмещения, выплачиваемого по системе пропорциональной ответственности, определяется по формуле [8,466]:
СВпо = У х ССА / СС0 (1)
где: СВПо — предельная сумма страхового возмещения, выплачиваемого предприятию при страховании по системе пропорциональной ответственности;
У — сумма финансового ущерба, понесенного предприятием в результате страхового события;
ССд — страховая сумма, определенная договором страхования по системе пропорциональной ответственности;
СС0 — размер страховой оценки объекта страхования, определяемый при заключении договора. Страхование по системе первого риска. Под «первым риском» понимается ущерб, понесенный страхователем при наступлении страхового события, оцененный при составлении договора страхования как размер страховой суммы. Если фактический ущерб превысил застрахованный первый риск
(предусмотренную страховую сумму), он возмещается только в пределах согласованной ранее страховой суммы. Страхование с использованием безусловной (вычитаемой) франшизы. Франшиза представляет собой минимальную не компенсируемую страховщиком часть ущерба, понесенного страхователем. При страховании с использованием безусловной франшизы, страховщик во всех страховых случаях выплачивает страхователю сумму страхового возмещения за минусом размера франшизы, оставляя ее себе. При этой системе страхования сумма страхового возмещения определяется по формуле [8,466]:
СВБф = У — ФР , (2)
где: СВБФ — сумма страхового возмещения, выплачиваемого предприятию при использовании системы страхования с безусловной франшизой;
У— сумма ущерба, понесенного предприятием в результате страхового события;
ФР — размер франшизы, согласованной сторонами договора. Страхование с использованием условной франшизы. При этой системе страховщик не несет ответственности за ущерб от страхового события, если размер этого ущерба не превышает размера согласованной франшизы. Если же сумма ущерба превысила размер франшизы, то она возмещается предприятию полностью в составе выплачиваемого ему страхового возмещения (то есть без вычета в этом случае размера франшизы).
Выбор эффективной программы страхования рисков — это стратегическое решение, способное обеспечить основы процветания предприятия.

Система управления рисками страховщика

В условиях перехода экономики России к рыночным отношениям государство не несет ответственности по обязательствам страховых компаний, а лишь регулирует их деятельность. Известно, что страховые компании осуществляют процесс страхования на коммерческой основе и рассматриваются как коммерческие организации.[4]

Поскольку рыночным отношениям присуща конкуренция, т.е. неопределенность предполагаемого результата (риск), вопросам принятия решений по управлению финансовыми ресурсами, которые наряду с традиционными решениями включают технически новые и нетривиальные действия, придается первоочередное значение.

Следует отметить, что принятие нетривиальных действий финансового управления вызывает вероятность возникновения убытков или недополучения доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом, т.е. риск.

Риск в рыночной экономике неизбежен, поэтому важно рассмотрение вопросов его оценки, прогнозирования событий, влияющих на него, и установления границ допустимости страховых рисков, влияющих на величину тарифных ставок страховых организаций.

Управление риском представляет собой целенаправленные действия страховщика или его представителя по ограничению или минимизации риска. Оно включает в себя выявление последствий деятельности страховых компаний в ситуации риска. Процесс управления риском выражается в разработке ситуационного плана, который содержит конкретные предписания действий для каждого участника страховых правоотношений и описание их последствий, что дает возможность быстро действовать в непредвиденных обстоятельствах, уменьшая тем самым риск принятия необдуманных решений.[4]

ТОП лучших платформ для торговли бинарными опционами:
  • БИНАРИУМ
    БИНАРИУМ

    1 место! Самый лучший брокер бинарных опционов для СНГ!
    Бесплатное обучение трейдингу и демо-счет!
    Получите бонус за регистрацию, перейдя по ссылке:

Конкретный метод управления риском выбирается в зависимости от его вида. На практике эти методы сочетаются. Рассмотрим их подробнее.

К методам управления риском относятся:

  • * упразднение,
  • * предотвращение потерь и контроль,
  • * страхование,
  • * поглощение.

Такая классификация рисков приводится в работах немецких специалистов.

Оценка рисков выражается в стоимости конкретных страховых продуктов, а деятельность страховых компаний в первую очередь заключается в управлении рисками. Рассмотрим риски, складывающиеся в процессе деятельности страховщика, уделяя особое внимание снижению финансовых рисков.

Риском основной деятельности является страховой риск страховщика как предпринимателя. Среди наиболее важных причин возникновения такого риска выделяются: повышенная убыточность страховых операций, рост расходов на оплату труда агентов, возможное снижение поступлений, выплата дивидендов, уплата повышенных налогов. Под повышенными налогами мы понимаем неправильную организацию работы финансово-правовой службы страховых компаний и связанные с этим суммы налоговых платежей, которые возможно снизить, не нарушая при этом налоговую дисциплину. К данной категории риска относятся также:

  • * финансовый риск, возникающий в сфере отношений с внешними партнерами (банками, кредитно-финансовыми и другими учреждениями);
  • * коммерческий риск, возникающий в процессе реализации страховых услуг, к причинам возникновения которого относятся увеличение тарифных ставок, рост расходов на ведение дела, уменьшение перечня предоставляемых услуг по видам страхования и, соответственно, снижение выручки от реализации страховых услуг вследствие изменения конъюнктуры рынка.

Этапы процесса управления риском:

  • * определения цели,
  • * выяснения риска,
  • * оценки риска,
  • * выбор методов управления риском,
  • * применение выбранного метода,
  • * оценка результатов.

Деятельность по управлению риском — поэтапный процесс, включающий:

  • * сбор, обработку и анализ информации;
  • * разработку и реализацию мер по уменьшению риска возникновения экстремальных ситуаций или смягчению их последствий. Этапы процесса управления риском складываются в комплекс мероприятий управления риском. Этот комплекс мероприятий сводится к регулированию основной деятельности страховщика методами корректировки политики:
  • * премиальной,
  • * ущерба,
  • * формирования страхового портфеля,
  • * передачи рисков в перестрахование.

Способы регулирования риска включают:

  • * структурирование внутренней организации страховщика,
  • * согласование работы подразделений,
  • * структурирование внешней организации работы страховщика (создание филиалов и т.д.),
  • * компьютеризацию математического обеспечения.

Риск распределяется между страхователями внутри данной страховой совокупности, поэтому необходимость выравнивания риска ставит проблему его адекватной оценки. При этом используются три подхода:

  • * модельный (построение моделей взаимодействия),
  • * экспертный,
  • * социологический.

Специфика страхования предполагает следующую классификацию уровней риска:

  • *допустимый (риск, не выходящий за пределы нетто-премии за тарифный период);
  • * критический (полное использование страхового фонда при сохранении собственного капитала);
  • * катастрофический (потеря всего имущества и банкротство).

Некоторые страховые случаи, например страховые программы при рисковых видах страхования, могут привести к тому, что мелкие риски складываются в один крупный. Это событие оценивается как кумуляция ущерба, т.е. такое состояние страхового портфеля, при котором большое количество застрахованных лиц может быть затронуто одним страховым случаем, что ведет к крупным убыткам.

Элементами, позволяющими определить величину риска, полноту ущерба и т.д. являются:

  • * вероятность наступления страхового случая по одному договору страхования;
  • * средняя страховая сумма по одному договору страхования;
  • * среднее возмещение по договору страхования;
  • * предположение отсутствия опустошительных событий, когда одно событие влечет за собой несколько страховых случаев.

В связи с этим процедуре выравнивания рисков предшествует анализ показателя убыточности и его элементов.

Тип распределения риска с равномерным повышением убыточности вызывает определенные трудности в практике страхового дела. К ним относится необходимость постоянного пересмотра страховых тарифов, связанных с использованием методики определения тарифа на основе средней убыточности страховой суммы.

Рассмотрение деятельности страховщика как предпринимателя требует рассмотрения его страховой и финансовой деятельности. Страховая деятельность предполагает анализ страхового портфеля и выработку мероприятий, снижающих технические страховые риски, т.е. регулирование тарифной политики.[4]

Оптимальные стратегии страхования индивидуальных рисков и суммарного ущерба для статической модели Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гридин Владимир Николаевич, Голубин Алексей Юрьевич, Петрова Мария Николаевна

Статья посвящена решению задачи оптимального управления риском в статической модели, где разрешен выбор как стратегии страхования риска отдельного клиента, так и стратегии перестрахования суммарного риска. Интересы клиентов и перестраховщика учтены введением дополнительных ограничений с вероятностью единица на их остаточные риски. Оптимальным с точки зрения полезности страховщика оказывается stop loss перестрахование с верхним пределом и страхование , представляющее собой комбинацию stop loss стратегии и франшизы. Приведен пример, иллюстрирующий доказанные результаты в случае экспоненциальной функции полезности страховщика.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гридин Владимир Николаевич, Голубин Алексей Юрьевич, Петрова Мария Николаевна

OPTIMAL PER-CLAIM INSURANCE AND OPTIMAL REINSURANCE OF SUMMARY RISK IN A STATIC SETTING

The paper studies an individual risk model where both a policy of per-claim insurance and a policy of reinsurance of aggregated losses are chosen by the insurer in order to maximize their expected utility. The problem is solved under additional constraints on the reinsurer’s risk and the residual risk of the insured that should be met with probability one. We show that the only solution to the problem is the following: the optimal reinsurance is a modification of the stop loss reinsurance policy, so-called stop loss reinsurance with an upper limit; the optimal insurer’s indemnity is a combination of the stop loss and the deductible policies. The results are illustrated by a numerical example for the case of exponential utility function .

Текст научной работы на тему «Оптимальные стратегии страхования индивидуальных рисков и суммарного ущерба для статической модели»

Труды Карельского научного центра РАН № 1. 2020. С. 17-25

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ СТРАХОВАНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РИСКОВ И СУММАРНОГО УЩЕРБА ДЛЯ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

В. Н. Гридин1, А. Ю. Голубин2, М. Н. Петрова2

1 Центр информационных технологий в проектировании РАН,

Московская обл., г. Одинцово

2 Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Статья посвящена решению задачи оптимального управления риском в статической модели, где разрешен выбор как стратегии страхования риска отдельного клиента, так и стратегии перестрахования суммарного риска. Интересы клиентов и перестраховщика учтены введением дополнительных ограничений с вероятностью единица на их остаточные риски. Оптимальным с точки зрения полезности страховщика оказывается stop loss перестрахование с верхним пределом и страхование, представляющее собой комбинацию stop loss стратегии и франшизы. Приведен пример, иллюстрирующий доказанные результаты в случае экспоненциальной функции полезности страховщика.

Ключевые слова: оптимальный дележ риска, страхование, перестрахование, функция полезности.

V. N. Gridin, A. Yu. Golubin, M. N. Petrova. OPTIMAL PER-CLAIM INSURANCE AND OPTIMAL REINSURANCE OF SUMMARY RISK IN A STATIC SETTING

The paper studies an individual risk model where both a policy of per-claim insurance and a policy of reinsurance of aggregated losses are chosen by the insurer in order to maximize their expected utility. The problem is solved under additional constraints on the reinsurer’s risk and the residual risk of the insured that should be met with probability one. We show that the only solution to the problem is the following: the optimal reinsurance is a modification of the stop loss reinsurance policy, so-called stop loss reinsurance with an upper limit; the optimal insurer’s indemnity is a combination of the stop loss and the deductible policies. The results are illustrated by a numerical example for the case of exponential utility function.

Key words: optimal risk sharing, insurance, reinsurance, utility function.

Объектом исследования в данной работе является так называемая модель индивидуального риска (или статическая модель

страхования), описанная, например в [1], где предусмотрена возможность перестрахования. Страховая компания может одновременно выбирать как долю своего возмещения (дележ)

каждому страхователю, так и дележ своего суммарного риска с перестраховщиком. Критерием оптимальности страховщика служит ожидаемая полезность его финального капитала. Желание клиентов и перестраховщика не иметь «больших» значений ущербов после заключения сделки отражено введением дополнительных ограничений сверху на их остаточные риски.

Работой, заложившей основы теории дележа риска в страховании, была статья Эрроу [4], где было показано, что при использовании принципа среднего значения для начисления премии оптимальным с точки зрения страхователя является дележ формы франшиза. В статье [6] были найдены Парето-оптимальные дележи между страховщиком и единственным страхователем, было показано, в частности, что максимизация полезности приводит к stop loss дележу, если решение о выборе функции дележа принимает страховщик, и к страхованию с франшизой, если выбирающей стороной является страхователь. В близкой постановке эти результаты были модифицированы на случай принципа среднего значения для вычисления премии в [9].

Оптимальность дележей страхования с франшизой изучалась в [10] с использованием разных типов распределений суммарного риска. В [5] были представлены условия на стоимость страхования, при которых оптимальными оказывались различные типы дележей страхования, такие как франшиза, сострахование и др. Исследование влияния различных типов функции полезности на уровень франшизы при ограничении сверху на риск страховщика проведено в [7]. Еще одним направлением исследований в статических моделях стал поиск оптимальных дележей при так называемом «Value at Risk» ограничении, которое означает установление нижней границы на вероятность разорения. Но, как было показано, например, в [11], учет этого ограничения ведет к тому, что оптимальные стратегии страхования оказываются разрывными функциями. Это означает наличие стимула к искажению действительного значения ущерба (moral hazard), что неприемлемо в страховой практике на развитых рынках. Работа [2] посвящена оптимизации страхования и индивидуального перестрахования при ограничении на среднее значение остаточного риска страхователя. Было показано, что решение такой задачи не единственно, и оптимальные дележи страхования образуют целый класс функций.

В отличие от предыдущих исследований, где разрешен выбор только стратегии стра-

хования или/и перестрахования индивидуальных рисков, в настоящей работе изучается задача одновременной оптимизации дележей страхования и перестрахования суммарного риска страховщика от целой группы клиентов. Интерес именно к суммарному перестрахованию берет начало с работы [б], где было установлено, что лучшим поведением страховщика будет не индивидуальное перестрахование, а создание пула из рисков клиентов с дальнейшим обращением за его перестрахованием. Еще один момент, отличающий предложенную модель, состоит в наличии естественных ограничений, наложенных с вероятностью единица на остаточные риски клиентов и перестраховщика.

Параграф 2 содержит формальное описание модели. В п. З рассмотрен частный случай, когда страховщик выбирает лишь стратегию (или, другими словами, дележ) перестрахования суммарного риска, целиком принимая на себя риски страхователей. Показано, что оптимум достигается на stop loss перестраховании с верхним пределом. В п. 4 рассмотрен общий случай оптимизации страхования и перестрахования при ограничениях на остаточные риски. Доказано (теорема 2), что оптимальное перестрахование по-прежнему имеет вид stop loss стратегии с верхним пределом, а оптимальное страхование есть комбинация stop loss страхования и франшизы. Выведена система уравнений оптимальности для двух параметров, входящих в выражения для оптимальных стратегий, а также проведено сравнение нашей модели с перестрахованием суммарного риска и модели с индивидуальным перестрахованием.

2. Описание модели

Рассматривается модель страхового рынка, состоящего из страховщика, перестраховщика и n клиентов (n ^ 2). Потенциальные ущербы (риски) клиентов — независимые неотрицательные случайные величины Xj, j = І. n, определенные на одном вероятностном пространстве (Q, F,P). В дальнейшем эта группа клиентов предполагается однородной: все

Xj имеют одинаковое распределение F(x) d=f P. Через T = sup ^ те будем обозначать верхнюю грань носителя распределения F, т. е. множества возможных значений риска Xi. Страховщик выбирает функцию дележа страхования I(x) и функцию дележа перестрахования A(x) из класса боре-левских функций на [О, те), удовлетворяющих неравенствам 0 ^ I(x) ^ x и 0 ^ A(x) ^ x,

которые означают, что возмещение не может быть отрицательным и не может превосходить величины ущерба. Случайная величина I(Xj) есть возмещаемая ^-му клиенту часть ущер-

ба, А( Е I(Xj)) — доля, оплачиваемая страхов-j=l

щиком после перестрахования его суммарного риска X1 = ^™=! I(Xj). Остаток X1 — А(Х7) возмещается перестраховщиком.

Наложим дополнительные ограничения на дележи (I, А), которые отражали бы желание других участников рынка — страхователей и перестраховщика — защититься от больших потерь, т. е. ввести ограничения сверху на максимальные возможные значения их рисков (1) остаточный риск клиента после страхования XI — I(XI) ^ д,

(п) риск перестраховщика X1 — А^1) ^ ^. Здесь д и Q — заданные положительные константы, неравенства понимаются выполненными с вероятностью единица (п.н.). Легко видеть, что эти ограничения можно эквивалентно переписать в форме ограничений снизу на функции дележа страхования и перестрахования: I(х) ^ х — д и А(х) ^ х — Q для х € [0, те).

Премия Р, полученная от клиента, и премия Р1 от страховщика за перестрахование определяются по формуле среднего значения, широко используемой в актуарной литературе (см., например, [1]): Р = (1 + а)Е!и Р1 = (1 + а1)Е [X1 — А^1)]. Здесь суммарный риск страховщика (до перестрахования)

X1 = ЕП=11 (X), а а и а1 — заданные коэффициенты нагрузки, соответственно, страховщика и перестраховщика, удовлетворяющие стандартным неравенствам 0 Е п(У2), где п(х) — заданная дважды дифференцируемая вогнутая функция полезности: П > 0 и п» 0 есть минимальный корень уравнения -0(а) = 0,

■0(а) ‘= (1 + а1)Еп'(Р0 — Аа^))

для всех ж с точностью до множества нулевой Fs-меры. Поскольку u;(-) убывает, то легко видеть, что п(0) > 0. При возрастании ж от ж = 0 имеем, в силу (6), что A*^) остается равной ж и п(ж) убывает вплоть до точки а0, в которой п(ж) впервые становится равной нулю. На интервале [a0, a0 + Q] функция п(ж) не может ни возрастать ни убывать, поскольку в противном случае мы получили бы противоречие

Таким образом, п(ж) убывает на [0, a0] при этом A*^) = ж, равна нулю на интервале [a0, a0 + Q], где A*(ж) = a0. Когда ж возрастает от точки a0 + Q, значения A*^) лежат на нижней границе ж — Q. Действительно, если A* (ж) > ж — Q, то п(ж) убывает от 0 = n(a + Q) и, согласно (6), мы имели бы A*^) = ж — Q. Окончательно получаем: оптимальная функция дележа есть stop loss перестрахование с верхним пределом, (ж Л a0) V (ж — Q), на [0, те). Для нахождения a0, т. е. точки, в которой п(ж) впервые обращается в ноль, подставим в п(ж)

выражение (X Л a) V (X — Q) вместо A*(X) и a вместо A*^). Уравнение, определяющее a0, примет тогда вид «0(a) = 0, где функция «0(a) указана в (4). Принимая во внимание вырожденный случай 0(a) > 0 на [0, nT), где правая граница nT = sup, приходим к окончательной формуле A*^) = (ж Л a*) V (ж — Q) с a*, определенной в теореме 1. □

Оптимальное перестрахование A*^) суммарного риска, найденное в теореме 1, представляет собой двухпараметрическую функцию, которую в литературе иногда называют перестрахованием эксцедента убыточности. Если суммарный ущерб X не превосходит уровень удержания страховщика a*, то страховщик оплачивает весь ущерб; далее ущерб оплачивается перестраховщиком за вычетом a* и, наконец, если X > a* + Q, то перестраховщик платит предельную сумму Q, а остаток погашается страховщиком. Таким образом, перестраховщику достается «средняя» доля риска X — A*(X) = (X — a*)+ Л Q. Константа Q имеет смысл максимальной суммы, которую перестраховщик готов заплатить, поэтому функцию дележа A* (ж) часто называют stop loss перестрахованием с верхним пределом (т. е. верхним пределом Q ответственности перестраховщика).

Замечание 1: В вырожденном случае уравнение 0(a) = 0 может, вообще говоря, не иметь корней на [0,nT], т. е. 0(a) > 0 на [0, nT], где nT верхняя граница носителя Fs. Тогда уровень a* полагаем равным nT, что означает отказ страховщика от перестрахования.

4. Общий случай: оптимальный выбор страхования и перестрахования

В этом параграфе будет найдено решение задачи (2), которая формулируется здесь в полном объеме с выбором стратегий и страхования индивидуальных рисков, и перестрахования суммарного ущерба

J[I, A] = Eu (nP — Pi — A(X1)) ^ max (7)

при ограничениях (ж — q)+ ^ I(ж) ^ ж и (ж — Q)+ ^ A^) ^ ж.

Ниже нам понадобится понятие двухпараметрической функции дележа страхования I(ж) = (ж Л k) V (ж — q), которая является комбинацией stop loss страхования ж Л k и франшизы (ж — q)+. При таком выборе функции I(ж) дележа страхования страховщику достается «хвост» распределения риска клиента X i, самому же страхователю остается «средняя» доля его риска Xi — I(Xi) = (Xi — k)+Лq.

Как будет показано, функция дележа такого типа вместе со stop loss перестрахованием с верхним пределом оптимальны в задаче (7).

Теорема 2. Оптимальные дележи (I*,A*) в задаче (7) имеют следующий вид: комбинация stop loss страхования и франшизы I*(ж) = (ж Л k*) V (ж — q), stop loss перестрахование с верхним пределом A* (ж) = (ж Л a*) V (ж — Q). Уровни k* = k0 Л T и a* = a0 Л nT удовлетворяют неравенству 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Am(X^ Е Xj п.в. Поэтому соответству-j=i

ющие функции распределения Fm(ж) ^ F(ж) и рт(ж) ^ Е^(ж), и тогда пределы 5 и e удовлетворяют требуемому неравенству P<5 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для анализа выведенного условия оптимальности введем новую функцию £е(‘) от скалярного аргумента соотношением <(х) =

ответствует модели с единственным «коллективным» страхователем. Теперь мы можем записать приведенное выше неравенство в виде Т

п / 0(х)(/*(х) — I(х))^Е(х) ^ 0, где о

и математическое ожидание берется по случайным переменным X2. Xn. Другими сло-

вами, оптимальный дележ I* есть решение за-

при ограничении (ж — д)+ ^ I(ж) ^ ж.(12)

Докажем теперь, что единственное решение в (12) имеет вид I*(ж) = (ж Л к*) V (ж — д), где уровень 0 0

с точностью до множества нулевой Е-меры. Функция 0(ж), определенная в (11), есть усреднение <е(1 *(ж)+г) по распределению С(г) слу-

чайной величины ^ = ЕI*(Х^). После это-

го усреднения по г получаем, что 0(0) = (1 + а)Еи'(пР * — Р* — А*(Х *)) —

— Е [и'(пР* — Р* — А*(ж + ЕI*(Х))] > 0,

поскольку и;(-) убывает и А*(-) есть неубывающая функция (вида А*(ж) = (жЛа*) V(ж—ф)). При возрастании ж от точки ж = 0, функция 0(ж) убывает от положительного значения 0(0) > 0, поскольку для этих ж значение I*(ж) = ж, как следует из (13).

Докажем, что точка к0, в которой 0(ж) первый раз попадает в ноль, лежит левее а*. В оптимальном перестраховании А* (ж) уровень а* = а0 Л пТ, где (см. доказательство теоремы 1) а0 есть минимальный нуль функции п(ж), определенной в (5), при А* (ж) = ж для ж ^ а0. Поскольку коэффициент нагрузки перестраховщика а 1 > а, легко видеть, что п(ж) > Се (ж) = (1 + а)Еи'(пР* — Р* — А*(Х*)) — и'(пР* — Р* — А*(ж)) для ж от 0 до точки Ке, нуля функции Се (ж). Следовательно, Ке 0 есть Ке — г ж — д. Как было показано выше, это возрастание от

I*(к0 + д) = к0 ведет к тому, что 0(ж) 0 на [0, Т), то полагаем к* = Т. Это означает, что I*(Х1) = Х1 п.н. — страховщик оплачивает весь ущерб клиента.

Для нахождения уровня а* в оптимальном перестраховании А*(ж) = (ж Л а*) V (ж — ф), обратимся к теореме 1. Было показано, что в задаче оптимизации перестрахования уровень а* = а0 Л пТ, где а0 является корнем уравнения ф(а) =0 с функцией ф(а), определенной в (4). В нашем случае при использовании дележа страхования вида ^ (ж) = (ж Л к) V (ж — д),

суммарный риск X = Е Xj заменяется в (4)

на X^ ^(Xj). В результате приходим к

уравнению ф2(к, а) = 0, где ф2(к,а) определена в (9). □

Найденные в теореме 2 стратегии I* и А* применяются, соответственно, к каждому индивидуальному риску Xj = 1. п ик сум-

марному ущербу X * = Е I*(Xj), погасить

который обязался перед клиентами страховщик. В этом принципиальное отличие от модели с выбором индивидуального страхования и индивидуального перестрахования в [2], где, как и здесь, принятый страховщиком от клиента риск есть с. в. I*(Xj), но суммарная доля страховщика после перестрахования равна

Е А*(!*(Xj)), в то время как в нашем случае j=l

это А*(Е I*(Xj)). Если выбрать подходящую j=l

аппроксимацию для Е I*(Xj) (пусть, для

определенности, нормальную), то доля страховщика окажется кусочно-линейным преобразованием A*(-) от нормальной с.в. В случае

же индивидуального перестрахования, к доП

ле страховщика Y1 A*(I*(Xj)) непосредствен-j=i

но применяется нормальная аппроксимация.

Замечание 2. Найденные в теореме 2 оптимальные дележи (I*, A*) допускают, вообще говоря, два вырожденных случая: Если уровень удержания страховщика k* ^ T = supsuppF тогда, очевидно, I*(Xi) = Xi п.н., т. е. страховщик берет ответственность за весь риск клиента — дележ риска ему не выгоден. После дележа страхования верхняя грань но-

сителя суммарного риска X* = Е I*(Xj),

принятого страховщиком, становится равной nT* = n(T Л k*) V (T — q) ^ nT. Если в дележе перестрахования найденный уровень а* оказался не меньше, чем эта граница, а именно, а* ^ nT*, то A*(X*) = (X* Л а*) V (x* — Q) = X* п.н. — страховщик не обращается за перестрахованием.

Представляется интересным сравнить оптимальные дележи в случае индивидуального перестрахования, где финальный капитал

страховщика nP — nP1 — A(I(Xj)) с преми-

ей перестраховщику P1 = (1 + a1)E[I(X1) — A(I(X1))], и в нашем случае суммарного перестрахования, где финальный капитал nP —

P1 — A(E I (Xj)). Для простоты рассмотрим j=1

модели без дополнительных ограничений, где допустимыми считаются все дележи, такие что 0 ^ I(x) ^ x и 0 ^ A(x) ^ x. Как было показано в [2], оптимальными дележами в первом случае будут stop loss стратегии I*(x) = x Л k* и A*(x) = x Л а* причем, в силу неравенства а 1 возможна ситуация, когда nk* > а* и, следовательно, доля страховщи-

ка после перестрахования А*(Х*) = X* Л а* не совпадает с X* — перестрахование оказывается выгодным. Следующее ниже предложение устанавливает, что такая ситуация имеет место, когда разница между коэффициентами нагрузки страховщика и перестраховщика, где а а такой, что для любого а1 € [а, а’) неравенство пк* > а* выполняется.

Доказательство: Как следует из доказательства теоремы 2 (где теперь q = ^ = те), уровень к* К^. Предположим противное, пк* ^ К^. Так как I*(ж) = ж Л к*, имем sup = (п — 1)к* и, по предположению, sup ^ К — к*. Как было отмечено, к* — наименьший нуль Е£е(ж + 2), поэтому к* > К — sup ^ — (Кц —

к*) = к*. Полученное противоречие доказывает требуемое неравенство пк* > Кц.

Принимая во внимание то, что по определению функции £ц(ж) точка совпадает с а*, если а1 = а, из непрерывности £ц(-) получаем существование а’ > а такого, что пк* > а* при любом а1 € [а, а’). □

Обоснование такого эффекта выгодности перестрахования именно суммарного риска состоит, как было отмечено выше, в том, что лучшая стратегия страховщика — это не перестрахование отдельных рисков, а образова-

ние пула £ I*(Xj) из них и затем обращение

за перестрахованием этого суммарного риска. Отметим в заключение, что в случае, когда дополнительное ограничение 0 ^ А(ж) ^ (ж — ^)+ наложено на дележи перестрахования (допустимые I по-прежнему такие, что

0 ^ I(ж) ^ ж), утверждение предложения

1 остается в силе. Доказательство получается повторением рассуждений в доказательстве предложения 1. В последнем случае, однако, сужение множества допустимых дележей А ведет к меньшему, вообще говоря, значению а’

правой границы интервала [а, а;) значений коэффициента а1 нагрузки перестрахования.

Пример. Рассмотрим задачу нахождения пары оптимальных дележей (I*,А*) в случае экспоненциальной функции полезности страховщика и(ж) = с-1(1 — exp(—сж)) с заданным коэффициентом неприятия риска с = 0,1. Пусть численность группы клиентов п = 15, распределение Е (ж) индивидуального ущерба равномерно на [0, 10], верхние границы рисков д = 7 и ф = 50, коэффициент нагрузки страховщика а = 0,5. Для моделирования распределения суммарного риска страхов-

щика £ I(Х7-) мы используем усеченное нор-.7 = 1

мальное распределение, которое довольно часто применяется в моделях страхования (см., например, [1]). Его плотность есть

По теореме 2, оптимальные дележи в задаче (7) максимизации полезности страховщика равны I*(ж) = (ж Л к*) V (ж — д) и А* (ж) =

(ж Л а*) V (ж — ф). Уровни к* и а* определяются из системы двух уравнений: ^1(к,а) = 0 и ф2(к, а) = 0 (см. (8)-(9)). В данном случае, когда и7 (ж) = е-сх, эти уравнения имеют вид

—Е exp[cAа(fc + £ 4(Х7))] = 0 (14)

(1 + «1)Е exp[cAа(XI)] — exp[cа] = 0, (15) где Аа(ж) = (ж Л а) V (ж — ф), 1к(ж) = (ж Л

к) V (ж — д), и Хк = £ 1к (Х7-). По предполо-7=1

жению, случайные величины Х£ и £ 1к (Х7-)

имеют, соответственно, усеченные нормальные распределения Фт,ст (ж) и Ф^,^ (ж) с параметрами т = пЕ1к(Х1), ст2 = пУаг1к(Х1), и т1 = (п — 1)Е1к(Х1), ст2 = (п — 1)Уаг1к(Х1). Формулы для первых двух моментов 1к (Х1) = (Х1 Л к) V (Х1 — д) легко выводятся:

Е1к (Х1) = / Е(ж)^ж + / Ё(ж)^ж,

Численное решение уравнений оптимальности (14)-(15) после подстановки равномерного распределения Е(ж) дает: при значениях коэффициента нагрузки перестраховщика а1 = 0, 6

и а1 = 2 оптимальные уровни равны, соответственно, (к*, а*) = (3, 446,12, 011) и (к*, а*) = (1,149, 52,175) — удорожание перестрахования приводит к уменьшению доли страхуемого риска I*(Х7-) и увеличению риска страховщика А(Х*) после перестрахования.

В статье рассмотрена задача одновременного выбора оптимального дележа риска между страховщиком и отдельным клиентом и оптимального дележа суммарного риска страховщика между ним и перестраховочной компанией. В аналитическом виде получены функции дележа — ими оказались кусочнолинейные функции специального вида — и найдены уравнения для определения параметров этих дележей. В качестве критерия была использована ожидаемая полезность страховщика. Особое внимание уделено сравнению оптимальных вариантов в рамках схем индивидуального и суммарного перестрахования.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 12-01-00078.

1. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д. и др. Актуарная математика. М.: Янус-К, 2001. 599 с.

2. Голубин А. Ю., Гридин В. Н., Газов А. И. Оптимизация дележа риска в статической модели с перестрахованием // Автоматика и телемеханика. 2009. Т. 70, № 8. С. 133-144.

3. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 19б4. 369 с.

4. Arrow K. J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Wyley and Sons, 1971. 278 р.

5. Blazenko G. Optimal Indemnity Contracts // Insurance: Mathematics and Economics. 1985. Vol. 4. P. 267-278.

6. Raviv A. The Design of an Optimal Insurance Policy // Amer. Economic Review. 1979. P. 84-96.

7. Cummins J., Mahul O. The Demand for Insurance with an Upper Limit on Coverage // Journal of Risk and Insurance. 2004. Vol. 71(2). P. 253-264.

8. Golubin A. Y. Pareto-optimal Insurance Policies in the Models with a Premium Based on the Actuarial Value // Journal of Risk and Insurance. 2006. Vol. 73, N 3. P. 469-487.

9. Murray M. L. A Deductible Selection Model: Development and Applications // Journal of Risk and Insurance. 1971. Vol. 38. P. 423-436.

10. Schlesinger H. The Optimal Level of 11. Zhou C., Wu C. Optimal Insurance Under the

Deductibility in Insurance Contracts // Journal Insurer’s VaR Constraint // The Geneva Risk and

of Risk and Insurance. 1981. Vol. 48. P. 465-481. Insurance Review. 2009. Vol. 34. P. 140-154.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Гридин Владимир Николаевич

профессор, д. т. н.

Центр информационных технологий в проектировании РАН, Московская обл., г. Одинцово эл. почта: [email protected] тел.: (495) 596 02 19

Голубин Алексей Юрьевич

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Б. Трехсвятительский пер., 3, Москва, 109028 эл. почта: [email protected] тел.: (495) 916 88 13

Петрова Мария Николаевна

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Б. Трехсвятительский пер., 3, Москва, 109028 эл. почта: [email protected] тел.: (495) 916 88 13

Russian Academy of Sciences, Design Information Technologies Center

Список русскоязычных брокеров бинарных опционов:
  • БИНАРИУМ
    БИНАРИУМ

    1 место! Самый лучший брокер бинарных опционов для СНГ!
    Бесплатное обучение трейдингу и демо-счет!
    Получите бонус за регистрацию, перейдя по ссылке:

Добавить комментарий